Die Logik

Was ist Logik?

Logik ist demnach die Lehre von den Prinzipien des richtigen, d. h. schlüssigen Denkens und Beweisführens. Als logisch richtig wird diejenige Beziehung zwischen Voraussetzungen und Schluß angesehen, bei der wahre Voraussetzungen zu einem wahren Schluß führen.

Zwischen der Gültigkeit einer Beweisführung und der Richtigkeit eines Schlusses muß allerdings unterschieden werden. Wenn eine oder mehrere Voraussetzungen einer Schlußfolgerung falsch sind, kann der Schluß einer in sich formal gültigen Beweisführung falsch sein.

So z. B. geht die gültige Beweisführung "Alle Säugetiere sind Vierfüßer, alle Menschen sind Säugetiere, also sind alle Menschen Vierfüßer" von einer falschen Voraussetzung aus und führt deshalb zu einer falschen Aussage. Andererseits kann ein ungültiger Schluß unter Umständen zu einer wahren Aussage führen: "Einige Tiere sind Zweifüßer, alle Menschen sind Tiere, daher sind alle Menschen Zweifüßer".

Die logische Gültigkeit einer Schlußfolgerung hängt demzufolge von der Art der Beweisführung und nicht von ihrem Inhalt ab. Wäre die Beweisführung gültig, könnten die darin verwendeten Begriffe beliebig ausgetauscht werden, ohne die Gültigkeit zu beeinträchtigen. Indem nun "Vierfüßer" durch "Zweifüßer" ersetzt wurde, wird offensichtlich, daß von richtigen Voraussetzungen ausgehend, ein falscher Schluß erzielt werden kann. Somit ist die Beweisführung ungültig, obwohl sie zu einer richtigen Aussage führt.

Aristotelische Logik

• "Alle As sind gleich Bs" (allgemein bejahend),
• "Alle As sind verschieden von Bs" (allgemein verneinend),
• "Einige As sind gleich Bs" (partikulär bejahend),
• "Einige As sind verschieden von Bs" (partikulär verneinend).

Die Buchstaben stehen für allgemeine Substantive wie "Hund", "Vierfüßer", "Lebewesen", die Begriffe des Syllogismus genannt werden. Ein vollständiger Syllogismus besteht aus zwei Prämissen (oder Voraussetzungen) und einer Konklusion (oder Schluß), wobei jede Prämisse einen Begriff mit der anderen Prämisse und einen Begriff mit der Konklusion gemeinsam hat. In der klassischen Logik sind die Regeln formuliert, anhand derer die vollständigen Syllogismen als gültige oder ungültige Beweisformen klassifiziert werden können.

Moderne Logik (Logistik)

_{Das logische System von Russell und Whitehead führt Symbole für ganze Sätze und ihre Bindeglieder ein, wie z. B. "oder", "und" und "wenn … dann …". Es verwendet auch unterschiedliche Symbole für das logische Subjekt und das logische Prädikat eines Satzes sowie für Klassen, Glieder der Klassen und für die Beziehungen zwischen der Zugehörigkeit und dem Einschluß der Glieder. Die Logistik unterscheidet sich von der klassischen Logik auch bezüglich der Voraussetzung der Existenz der Dinge, auf die in den allgemeinen Sätzen Bezug genommen wird. Die Aussage "Alle As sind gleich Bs" wird in der modernen Logik zu: "Wenn etwas A ist, dann ist es auch B", wodurch zum Unterschied von der traditionellen Logik die Existenz von A nicht unbedingt vorausgesetzt wird.}

Sowohl die klassische wie auch die moderne Logik sind Systeme der Deduktion. In einem gewissen Sinn enthalten die Prämissen eines gültigen Beweises den Schluß, und die Richtigkeit des Schlusses wird mit Gewißheit aus der Richtigkeit der Prämissen gefolgert. Es bestanden auch Bestrebungen, induktive logische Systeme zu entwickeln, bei denen die Prämissen den Beweis für den Schluß erbringen, die Richtigkeit des Schlusses jedoch nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aus der Richtigkeit der erwiesenen Prämissen gefolgert werden kann.

_{Den bemerkenswertesten Beitrag zur induktiven Logik erbrachte der britische Philosoph John Stuart Mill, der in seiner Arbeit System of Logic (1843) Beweismethoden formulierte, die charakteristisch für die empirischen Wissenschaften sind. Diese Untersuchungen wurden im 20. Jahrhundert auf dem Gebiet der Wissenschaftsphilosophie fortgesetzt. Hiermit eng verwandt ist im Bereich der Mathematik die Wahrscheinlichkeitslehre.}

_{Die klassische wie auch die moderne Logik gehen im Allgemeinen davon aus, daß jeder richtig formulierte Satz den Wahrheitswerten "wahr" oder "falsch" entspricht. In jüngster Vergangenheit bemühte man sich, Systeme so genannter mehrwertiger Logiken zu entwickeln, bei denen neben den Wahrheitswerten "wahr" oder "falsch" noch weitere Werte auftreten können. Bei einigen Systemen handelt es sich dabei bloß um einen dritten neutralen Wert, bei anderen wiederum um einen Wahrscheinlichkeitswert, der durch einen Bruchteil zwischen 0 und 1 oder zwischen &endash;1 und +1 ausgedrückt wird. Eine weitere Entwicklung der letzten Jahre war der Versuch, eine Modallogik auszuarbeiten, anhand derer die logischen Beziehungen zwischen Behauptungen der Möglichkeit und Unmöglichkeit, Notwendigkeit und Zufälligkeit dargestellt werden können. Des Weiteren wurde eine deontische Logik entwickelt, die die logischen Beziehungen zwischen Befehlen oder Sätzen der Verpflichtung untersucht.}

Die mathematische Logik

• Allgemeine Logik (klassische Logik und Axiomatisierbarkeit, höherstufige Logiken, infinitäre Logiken, mehrwertige Logiken, Modal-, Zeit- und andere nicht-klassische Logiken)
• Beweistheorie
• Mengenlehre (Forcing, große Kardinalzahlen, Determiniertheit, deskriptive Mengenlehre, unendliche Kombinatorik)
• Modelltheorie (endliche Modelltheorie, Stabilitätstheorie, modelltheoretische Algebra)
• Rekursionstheorie

Ausgangspunkt für die Entwicklung der mathematischen Logik war die Erkenntnis, daß es zu Widersprüchen führen kann, wenn man, grob gesagt, unkontrolliert Mathematik betreibt außerhalb gewisser Grundfesten der Anschauung. Daraus ist der Versuch entstanden, den Begriff des mathematischen Schließens formal zu fassen und beweisen zu wollen, daß in bestimmten mathematischen Systemen (d.h. unter einer Auswahl zugelassener Axiome und Schlußregeln) Widersprüche nicht auftreten können. Dieses sogenannt Hilbertsche Programm wurde erfolgreich angesetzt, ist dann aber mit Gödels Unvollständigkeitsatz auf grundsätzliche Grenzen gestoßen und wurde seitdem kaum mehr weitergeführt.

Inzwischen hatte sich aber aus den eingeführten Begriffen und Techniken eine reichhaltige neue Mathematik entwickelt:

• die Mengenlehre ist u.a. aus dem Versuch entstanden, einen einheitlichen Rahmen für die gesamte Mathematik zu finden;
• "formalen Beweise" werden in der Beweistheorie als Objektes selbständigen mathematischen Interesses betrachtet;
• die Möglichkeiten und Beschränkungen der Formalisierung von Mathematik spiegeln mathematische Eigenschaften wider: dies nutzt die Modelltheorie aus;
• der von Logikern eingeführte Begriff der Berechenbarkeit begründete die theoretische Informatik vor der Existenz der ersten Computer.

Während ursprünglich die mathematische Logik (auch unter dem Namen Metamathematik) der Philosophie sehr nahestand, ist diese Verbindung in der derzeitigen Forschung in den Hintergrund gerückt. Je nach Teilgebiet der mathematische Logik gibt es aber enge Bezüge zur Algebra oder zur theoretischen Informatik.

Quellen: